Les Palindromes : Jouons à des nombres et des lettres !

Un palindrome est un mot, une expression, un nombre qui peut être lu indifféremment de gauche à droite et de droite à gauche.

Aux lettres

Tout d'abord, à partir des mots palindromes les plus faciles, nous avons, par exemple : ici, été, kayak, tôt, radar, non, elle, rêver... Des noms propres : Anna, Hannah, Ava, Eve, Bob, Otto… Et des noms de villes telles que Noyon et Laval en France, Onano en Italie, Muçum au Brésil. 

Nous retrouvons ensuite, des expressions : “Engage le jeu que je gagne”, “sope reste ici et se repose” ; “Elu par cette crapule” ; “À révéler mon nom, mon nom relèvera” ; “À l'étape, épate-la” ; “Etna, lave dévalante”, etc.

Les expressions palindromes existent en plusieurs langues. Pour en illustrer, en anglais : “A man, a plan, a canal, Panama!” ou bien “Madam, in Eden, I’m Adam!”. Et, en italien “Amo Roma”!

Pêle-mêle avec 17 palindromes à trouver. A vos crayons !

H	A	N	N	A	H	I	K
L	S	N	E	T	E	Y	A
A	M	O	R	O	M	A	Y
V	0	Y	S	T	T	A	A
A	B	O	B	K	A	T	K
L	0	N	A	N	O	K	O
1	0	1	1	0	2	0	1
1	I	C	I	I	2	T	1

(Solution en fin de l’article)

Aux nombres

Le premier à deux chiffres est le 11. Ce nombre premier est  très intéressant et il est à l’origine d’une infinité de palindromes.

Les palindromes comportant un nombre pair de chiffres seront tous divisibles par 11  : 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99… 1001, 1111, 1331, etc. 

Mais la réciproque n’est pas vraie : il existe des nombres divisibles par 11, comportant un nombre pair de chiffres, qui ne sont pas des palindromes, par exemple 1210 (11x110).

Enfin, observons que les puissances de 11 sont des palindromes jusqu’à l’exposant 4, mais pas au-delà. Ainsi, 11² = 121, 11³ = 1331, 11⁴ = 14641 sont palindromes, alors que 11⁵= 161051 n’en est pas un. 

En effet, lorsqu' on calcule les puissances, on observe qu’il n’y a pas de retenue uniquement jusqu’à l’exposant 4 : on conserve ainsi la symétrie. A partir de la puissance 5, l’apparition de la retenue brise la symétrie. Pour en savoir plus, vous pouvez regarder “le triangle de Pascal”.

Palindromes carrés. 

Intéressons-nous aux carrés. Pour les plus jeunes, on rappelle qu’un nombre au carré est un nombre X multiplié par lui-même, X×X, noté X² ‘(X exposant 2, ou X au carré).

• Premier cas où x et x² sont tous les deux palindromes. 

Si x = 11 donc  X*X =  x² = 11x11 = 121 : x et x² sont les deux palindromes.

Si x = 22 donc x² = 484 : x et x², les deux sont palindromes

Puis :

x=101 donc x² =10201 

x=111 donc  x² =12321 

x=121 donc  x² =14641

Tous les deux, x et x² sont palindromes.

• Deuxième cas où x est palindrome, mais x² ne l’est pas 

x = 33 est palindrome, mais x² = 1 089 ne l’est pas

x = 44, palindrome, mais x² = 1 936 ne l’est pas

• Enfin, troisième cas où x² est palindrome mais x ne l’est pas

Le premier nombre dans ce cas de figure est le 26, mais il n’est pas l’unique.

x = 26 n’est pas palindrome mais x² = 676 l’est

x = 264 n’est pas palindrome, mais x² = 69 696 l’est

On observe que si le nombre X est déjà palindrome, son carré peut être palindrome (ex. 11) ou non (ex. 33). Et si X n’est pas palindrome (ex. 26), son carré (ex. 676) peut éventuellement l’être ! Les palindromes et leurs carrés forment ainsi 3 familles rares mais de grand intérêt arithmétique.

Alexandre LUCAUSSY SVIATOPOLK-MIRSKY

La solution du pêle-mêle avec 17 palindromes

H	A	N	N	A	H	I	K
L	S	N	E	T	E	Y	A
A	M	O	R	O	M	A	Y
V	0	Y	S	T	T	A	A
A	B	O	B	K	A	T	K
L	0	N	A	N	O	K	O
1	0	1	1	0	2	0	1
1	I	C	I	I	2	T	1

En horizontal, de haut en bas : Hannah, Anna, Eté, Amo Roma, Bob, 101, 10301, Ici.

En vertical : Laval, 11, Noyon, Tôt, 22, Kayak, 11

En diagonale : S0S et Otto