Le paradoxe de 0,9999… = 1

Le paradoxe de 0,999… = 1 est très intéressant. Il aborde un thème passionnant des mathématiques qui fera bugger votre cerveau 🧠. Dans cet article, tout vous sera expliqué de manière à ce qu’un élève de 6e jusqu’à la terminale puisse comprendre.

L’histoire du paradoxe 

Je vous vois tous venir : «  Graffiti ça a changé ! », « Mais qu’est-ce qu’il raconte ! »

« Quel est le QI de Graffiti ? ». Et pourtant… 0,999 à l’infini = 1.

Avant de le démontrer, remontons un peu à l’origine de ce paradoxe. 

Le paradoxe apparaît dans le contexte des traités d'arithmétique du XVIIIe siècle, où les comptables et mathématiciens ont commencé à manipuler des fractions décimales périodiques.

Une fraction décimale périodique est le développement décimal à l’infini d’un nombre. 

Par exemple : ⅓ = 0,33333… ou 1/7 = 0.142857…

En 1730, Alexander Malcolm est le premier à affirmer l'égalité de 0,9999… = 1 mais sa démonstration est incomplète. Plus tard, en 1742,  John Marsh le démontre grâce à des suites géométriques.

La démonstration présentée dans cet article est la plus courante : la démonstration d’ arithmétique. 

La démonstration 

Bon, bon, bon, voilà ce que vous attendiez tous : la démonstration. Vous allez voir, nous allons vous prouver que 0,999 à l’infini est égal à 1. 

Prenons 2 nombres : A et B

A = 1

B = 0,9999…

B x 10 = 0,9999… x10

10 B = 9,999…

10 B = 9 + 0,9999…

et comme 0,9999… correspond à B

10 B = 9 + B

On soustrait B des 2 côtés afin d’obtenir tous les B d’un côté : 

10 B - B = 9+B-B

9  B = 9

9 B : 9 = 9 : 9

B = 1 🤯

De cette manière, on peut prouver que 0,9999… = 1

Et pour ceux qui sont encore sceptiques 🤨, que dîtes vous de cela : 

1 = 3/3 = ⅓ x 3 = 0,333… x 3 = 0,9999… 🤯

Les contre arguments

Certains disent qu’il y’a un écart “infinitésimal” ( oui ce mot existe, cela correspond à un tout petit écart) et que 1-0,99999 = 0,0000000…1

Le problème est que puisqu’il y a une infinité de 0, il est impossible de placer le 1 et la différence vaut strictement 0.

Conclusion

Le paradoxe de 0,999…= 1 est une démonstration qui nous casse la tête et qui ne met pas tout le monde d’accord. Le débat autour de lui repose sur un conflit entre l’intuition humaine ( qui se base sur une affirmation impossible à prouver) et la rationalité mathématique ( qui définit les nombres par leurs propriétés logiques). D’ailleurs saviez-vous que dans une pièce contenant 23 personnes. Il y a légèrement plus de 50% de chances que 2 personnes aient la même date d’anniversaire ? Dommage, on arrive au bout de la page. Tant pis ca sera dans un prochain graffiti…