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L'infini en mathématiques

Le terme infini est très compliqué à définir clairement car tout ce qui nous entoure est infini : qu'il s'agisse de la plus grande durée ou de la plus grande distance à laquelle on pense, il suffit de rajouter 1 ou si on imagine la plus petite taille, d'enlever 1 pour se rendre compte à quel point notre pensée est finie.


Le symbole de l’infini

Le signe infini nommé lemniscate fut seulement utilisé la première fois en 1655 par le mathématicien anglais John Wallis. Ce symbole est aussi appelé le 8 paresseux car il est couché.

L’intuition de l’infini Aristote est l'un des premiers penseurs à réfléchir sur les deux infinis : l'infiniment grand et l'infiniment petit. Lorsqu'on prend le nombre 1 et qu'on lui ajoute 1 puis qu'on lui rajoute 1 ainsi de suite sans jamais s'arrêter, alors on crée un nombre infiniment grand. C'est l'addition continue. Si nous prenons maintenant le nombre 1 et que nous le divisons par 2 et ainsi de suite, nous obtenons un nombre infiniment petit. C'est la division continue. Cette notion de l'intuition de l'infini fut reprise par Eudoxe, Euclide et Archimède.


La théorie des ensembles

Georg Cantor (1845-1918) est un mathématicien allemand. Il a créé la théorie des ensembles qui est une avancée révolutionnaire. Georg s'est aperçu que l'infini possède des propriétés surprenantes grâce à la théorie des ensembles. Prenons comme exemple l'ensemble qui contient les entiers naturels (1, 2, 3…). Cet ensemble contient une infinité de nombres comme l'intuition nous le fait penser. Prenons maintenant l'ensemble ℚ des nombres rationnels : les entiers positifs ou négatifs et les fractions (0, 1, -2, 7,54, -9/8, ⅔ …). Cet ensemble est infini et puisqu'il contient l'ensemble , on pourrait penser que l'ensemble ℚ est supérieur à l'ensemble mais ce n'est pas le cas ! Définition d'ensemble : les ensembles sont des regroupements d'objets mathématiques qui ont les mêmes propriétés. Certains ensembles peuvent se contenir comme l'ensemble et ℚ.


Les nombres ordinaux

Il existe aussi les nombres ordinaux. Ces nombres permettent de donner la position d'un élément (1er, 2e, 3e…). Prenons comme exemple un hôtel possédant une infinité de chambres, comme l'a fait le mathématicien David Hilbert (1862-1943). Toutes les chambres de l'hôtel sont occupées. À chaque nouvel arrivant qui se présente à la réception, l'hôtelier demande à tous les autres occupants de changer de chambre, dans la suivante. L'occupant de la chambre numéro un passe dans la chambre numéro deux, et ainsi de suite. Ainsi l'hôtel peut accueillir un nombre infini de clients.

L’infini est un concept constamment utilisé dans tous les domaines des mathématiques, extrêmement complexe, qui crée même des paradoxes, et fait toujours l’objet de nombreuses recherches.


Peut-on imaginer et concevoir un infini d’infinis ? C'est une question fascinante que se posent les mathématiciens, comme l'a souligné Hermann Weyl en décrivant les mathématiques comme "la science de l'infini".


Angie Bonzel

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